Логика и логические основы компьютера

Это незавершенная статья Она содержит неполную информацию Вы можете помочь Informatic вики, дополнив её.

1.          Основатели теории алгебы логики[1]   
2.          Логика и логические основы компьютера[2]
3.          Логические операции[3]
4.          Законы алгебы логики[4]
5.          Мультфильм "Время математической логики"[5]

1. Из истории алгебры логики    

Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука древняя. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения древнегреческих мыслителей. Основоположником логики считают греческого мыслителя Аристотеля, жившего в 384-322 годах до н.э. Именно он подверг анализу человечес­кое мышление, такие его фор­мы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формаль­ной стороны. Так возникла формальная логика — наука, пытавшаяся найти ответ на воп­рос, как мы рассуждаем, изу­чающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже про­шла значительный путь развития. В течение многих ве­ков логика помогала математике стать строгой, последо­вательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказа­лась под влиянием математики.

После падения античной цивилизации развитие мате­матики, и особенно логики, замедлилось, потому что но­вые логические идеи нередко вступали в противоречие с формами мышления церкви. Любопытно отметить: пер­вое, что было восстановлено из античной науки, - это именно логика Аристотеля.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам на­уки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декар­та (1596-1650). Он считал, что человеческий разум мо­жет постигнуть истину, если будет исходить из достовер­ных положений, сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусков в логических звеньях ис­следований. Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике - руководствоваться общеприняты­ми в математике принципами.

В то время и другие ученые заметили, что выводы согласно определенным схемам напоминают математические выкладки при нахождении системы уравнений и неравенств. Особенно на этой стороне логических выводов настаивал великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), предложивший детальную программу логических исследований методами математики. Его считают основоположником математической логики. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возмож­ности применения двоичной системы счисления в вычис­лительной математике.

Логические высказывания Лейбница, существенно опередившие эпоху, оставались неизвестными до конца XIX столетия, когда они были найдены в архиве и опубликованы французским математиком Луи Кутюра. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики. 

Но этим идеям Лейбница суждено было получить даль­нейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах дру­гого великого математика Джорджа Буля, отца писатель­ницы Э.Л. Войнич - автора романа "Овод". Его именем назван раздел математической логики - булева алгебра. Знаменитые труды Д. Буля появились в конце 40-х - начале 50-х гг. В них отразилось убеждение Буля о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не обязательно над числами. Ученый говорил о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и логическому выводу и к теоретико-вероятностным  рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней. 

Задача логики описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными.

Логическая идея не исчерпала себя и до сих пор. Она находит применение в современном разделе математической логики в виде алгебры высказываний, алгебры множеств, алгебры релейных схем, без которых программирование и проектирование компьютеров было бы невозможным.

2. Область применения алгебры логики.

Алгебра логики сегодня является частью математики.

Свое практическое применение алгебра логики (булева алгебра) нашла:

1. в вычислительной технике. В этом случае булевы значения - это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Аппарат алгебры логики используется при использование функции «Если» в электронных таблицах; в программировании – при записи сложных условий, проверяемых оператором условного перехода; в базах данных – при формировании запросов на поиск необходимой информации в них. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории;
2. в логических построениях в математике. В этом случае булевы значения - это "ложь" и "истина". Они определяют истинность или ложность некоторого высказывания. Вы применяете их решая уравнения, системы уравнений, неравенства;
3. повседневных рассуждениях. В этом случае булевы значения - это также "ложь" и "истина". Они представляют собой оценку истинности или ложности некоторого высказывания.

  3.Формы человеческого мышления.

Логика рассматривает три различных формы, в которых осуществляется  мышление: понятие, суждение (высказывание) и умозаключение.

ПОНЯТИЕ- форма мышления, отражающая предметы в их общих и существенных признаках. Языковой формой выражения понятия является слово.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны,  чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.                                         

Например, признаками понятия апельсин являются: круглый, оранже­вый, упругий, сладкий, ароматный. Можно ли по этим признакам отли­чить апельсин от не апельсина? По ним легко отличить апельсин от ябло­ка, но нельзя отличить апельсин от мандарина: большой мандарин можно спутать с маленьким апельсином. Поэтому для точной идентификации апельсина необходимо ввести дополнительные признаки.

Понятие имеет две основные логические характеристики: содержа­ние и объем. Содержание понятия — совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержанием понятия ромб является совокупность двух су­щественных признаков: быть параллелограммом и иметь равные сторо­ны. Содержание понятия ученик включает в себя признаки: познавать но­вое и иметь учителя. Содержание понятия хороший ученик включает в себя признаки: познавать новое, иметь учителя, иметь интерес к учебе, быть исполнительным, быть обязательным, быть воспитанным, помогать отстающим. Даже если ученик плохо учится, но проявляет интерес к учебе, всегда выполняет домашние зада­ния, воспитан и помогает по мере сил тем, кто слабее его, то его можно отнести по данной совокупности признаков к хорошим ученикам.

Всех тех учеников, которые обладают выделенными признаками, мож­но объединить во множество.

ОБЪЕМ понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Например, объем понятия река — это множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др. Объем понятия уче­ник включает в себя всех людей, которые когда-либо учились, учатся сейчас или будут учиться когда-нибудь.По отношению друг к другу понятия делятся на сравнимые и несрав­нимые.                             

Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имею­щие общих признаков, называются несравнимыми.

Примеры несравнимых понятий:

1) Романс и кирпич.

2) Безответственность и нитка.

Остальные понятия называются сравнимыми.

Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовмести­мые (объемы которых не совпадают ни по одному элементу).

СУЖДЕНИЕ(высказывание, утверждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними. Языковым выражением суждений является повествовательное пред­ложение.

 Например:

1) Этот апельсин вкусный.

2) Все вписаны углы, опирающиеся на диаметр – прямые.

СОДЕРЖАНИЕ суждения — это то, о чем в нем идет речь, его смысл.

Суждения обозначаются  боль­шими буквами латинского алфавита: А, В, С, D, ...Характеристикой каждого суждения (выс­казывания) является,  есть истинность или лож­ность; эту характеристику называют зна­чением истинности (или истинным значением) данного суждения. Если суж­дение истинно, то значение истинности су­ждения обозначают числом 1, если,  сужде­ние ложно –  числом 0. Например, суждение "Киев - столица Украины"– истинное. Если его обозначить буквой А, то можно записать: А = 1. Суждение "Высота гор на Земле пре­восходит 15 км" - ложное. Если его обо­значить буквой В, то можно записать: В = 0. 

Те утверждения (или те предложе­ния), о которых нельзя сказать, истин­ны они или ложны, не являются суж­дениями. Например, утверждения: "Эта книга — информатика", "Метеорологи­ческий прогноз" - не являются суждени­ями.

Не будут суждениями предложения вопросительные и восклицательные: «Кому на Руси жить хорошо?», «Хорошо быть генералом!».

Суждениями не будут и утвержде­ния вида: «5 + Х = 12», «Х + Z < 1», "Число Y  кратно 3" и др, поскольку значения  X, Y, Z не известны. Такие выражения о переменных (объектах) называют предикатами.

Предикаты становятся суждениями, если переменной (или переменным - если их несколько) придать некоторое числовое значение (конечно, из области допустимых значений) или применить логическую операцию, которая устанав­ливает область истинности. Например:

«5 + Х =12, если Х=7».

«Число Y кратно 3, когда сумма цифр числа Y делится на 3 без остатка».

Суждения подразделяются на общие и частные.

ЧАСТНЫЕ суждения выражают конкретные (частные) факты.

Примеры частных суждений: «7 – 2 > 3», «Луна — спутник Земли», «Этот четы­рехугольник ромб».

ОБЩИЕ суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений.

Примеры общих суждений: «В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 90°»,  «Всякий человек –млекопитающее».

Может оказаться, что два суждения А и В одновремен­но истинны или одновременно ложны; такие суждения называются  равносильными (эквивалентными) и обозначаются: А=В.

Например, суждения:

А= «этот треугольник равносторонний»;

В= «этот треугольник равноугольный» — будут равносильными, так что А=В.

Различают суждения простые и сложные.

Суждение считается ПРОСТЫМ, если никакая его часть не является суждением.

СЛОЖНЫЕ суждения характеризуются тем, что об­разованы из нескольких суждений с помощью опре­деленных способов соединения суждений; простые суждения этим свойством не обладают. Например, суждение: «Париж - столица Албании» -простое. А суждение «Неверно, что Париж - столица Ал­бании» — сложное. ( Демонстрируется слайд 21)

'УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ— 'форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по оп­ределенным правилам вывода получаем суждение-заключение.  Например:

1. Академик Ершов русифицировал язык Паскаль.
2. Язык Паскаль – структурный язык.

Посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения.

Примеры верных умозаключений:

1.  Все граждане России имеют право на отдых.
2. Я - гражданин России.
3. Я имею право на отдых. 
4. Если цветы поливают, то они не засохнут.
5. Цветы засохли.

Не всегда из истинных посылок можно получить истинное умозаключение.

Например:

Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток.  Истинное суждение

Алюминий проводит ток.                                                                          Истинное суждение

Алюминий - металл.                                                                                Истинное умозаключение

Если что-то есть металл, то оно проводит электрический ток.            Истинное суждение

Вода проводит ток.                                                                                  Истинное суждение

Вода - металл.                                                                                         Ложное умозаключение

Пермяков Д. (обсуждение) 18:25, февраля 13, 2014 (UTC)